🔢 フェルマーから楕円曲線へ：現代暗号につながる17世紀の数学史

⚙️ フェルマーの小定理（1640年）と暗号への応用

1640年、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは次の定理を発見しました。

📐 フェルマーの小定理

                        p が素数で、a が p の倍数でないとき：

                        ap-1 ≡ 1 (mod p)

例：p=7（素数）、a=3 のとき
3⁶ = 729 = 7×104 + 1 → 729 mod 7 = 1 ✅

読者

これが暗号にどう関係するの？

もふねこ

RSA暗号の正しい動作（暗号化した後に復号すると元に戻る保証）は、実はこのフェルマーの小定理の延長線上にある「オイラーのトーシェント定理」から来ているんだよ🐾

さらに、この定理は「素数かどうかを判定するテスト」として使えます。もしある数 p に対してランダムな a を選んで a^p-1 mod p = 1 が成り立てば、p は素数らしい——という「フェルマー素数テスト」です。

しかし、フェルマーの素数テストには致命的な欠陥がありました。

⚠️ 擬素数（Pseudoprime）とは？
フェルマーの小定理を満たしている（= 素数らしく見える）にもかかわらず、実は合成数（素数でない数）である数のことです。
例：561 = 3 × 11 × 17 は明らかに合成数ですが、フェルマーテストをパスしてしまいます。

カーマイケル数は、さらに悪質な「どんな a を選んでもフェルマーテストをパスしてしまう合成数」です。これらは「絶対擬素数」とも呼ばれます。

読者

これをRSAの素数として誤って使ったらどうなるの？

もふねこ

大変なことになるよ！RSAは2つの「大きな素数」の掛け算の素因数分解が困難であることを安全性の前提にしている。カーマイケル数のような合成数を使うと、この前提が崩れてRSA暗号が解読されてしまうんだ🐾

カーマイケル数問題を解決するために、1975年（Miller）と1980年（Rabin）が考案したのが「ミラー–ラビン法（Miller-Rabin Primality Test）」です。

1637年、フェルマーは余白に「xⁿ + yⁿ = zⁿ（n > 2）を満たす正の整数解は存在しない」と書き残し、350年以上証明されないままでした。

アンドリュー・ワイルズが350年越しの証明を成し遂げた。その核心にあったのが「楕円曲線」の理論だった。楕円曲線とは、y² = x³ + ax + b の形をした曲線で、代数的に非常に豊かな構造を持つ。

楕円曲線の数学理論（17世紀〜）

y² = x³ + ax + b の代数幾何学

↓

フェルマーの最終定理の証明（1995年）

ワイルズが楕円曲線を使って350年の謎を解明

↓

楕円曲線暗号 ECC（1985年考案→現代の主流）

ビットコイン・TLS・SSH など幅広く採用。RSAより短い鍵で同等の安全性

もふねこ

17世紀のフェルマーが数学の楽しさで探求した「楕円曲線」が、400年後にビットコインを守る技術になるなんて、なんてロマンがあるんだろう🐾

読者

数学って「いつ役に立つかわからない」けど、ちゃんと未来につながってるんだね…！