🔐 暗号に必要な数学：素因数分解・乱数・ハッシュのすべて

「暗号って数学が得意な人だけが扱うものじゃないの？」と思っていませんか？
実は、私たちが普段使っているLINEやオンラインショッピング、ネットバンキングなどの裏側では、「素因数分解」「乱数」「ハッシュ関数」といった数学的な仕組みが活躍しています。

とはいえ、「数学」と聞くだけで少し身構えてしまう方も多いはず。
でも安心してください。この記事では、暗号における数学の役割を、専門知識ゼロでも理解できるように、もふねこ🐱と一緒にやさしく解説していきます。

🔸 暗号の安全性を支える「素因数分解」って何？
🔸 なぜ「乱数」が重要なの？疑似乱数との違いは？
🔸 鍵がいらない暗号？「ハッシュ関数」の不思議な力とは？

これらの疑問に答えながら、暗号の世界で数学がどのように使われているかをまるっと解説します。

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暗号の心臓部！「素因数分解」の奥深い世界

なぜ素因数分解が暗号の鍵になるのか？

現在主流の「RSA暗号」は、2つの巨大な素数を掛け合わせて得られる値（P×Q）を利用しています。この P×Q を「法（modulus）」として暗号の処理が進められるのですが、この値を素因数分解するのがとてつもなく難しいことがRSAの安全性の要となっています。

素因数分解の難しさ：現代の壁

• 小さい数：例）91 → 7 × 13 はすぐわかる
• 巨大な数：300桁を超えるようなP×Qの素因数分解には、現在のスーパーコンピュータでも数十年単位の計算時間が必要です。

実例：129桁のチャレンジ

1977年、RSAの開発者リヴェストらは「129桁の数の素因数分解できる人に賞金を出す」と発表しました。結果、この問題は1600台のコンピュータを8か月動かしてやっと解けたのです。

🔐 暗号では「簡単に掛け算できるけど、割り算（分解）はめちゃくちゃ大変」という特性を利用しているのです。

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数学は予測不能であるべき？「乱数」の重要性

暗号にとって「乱数」がなぜ大事？

鍵の作成や暗号文の生成には、毎回異なる数値を使う必要があります。もし同じパターンの鍵が何度も使われたら、攻撃者にパターンを見抜かれてしまう可能性があるからです。

そこで必要になるのが「乱数」！

乱数の2つの種類

種類	特徴
🔹 真性乱数	自然界の現象などから得られる。完全に予測不可能。例：放射線の崩壊
🔸 疑似乱数	数学的な計算式で生成される。見た目はランダムでも、厳密には予測可能

疑似乱数の安全性を保つ条件

1. 一様性：すべての数が等しく出やすいこと
2. 非相関性：過去の値と次の値が関係しない
3. 長周期性：繰り返しのサイクルが極端に長い
4. 非線形性：予測が極めて困難

これらを満たした「安全な疑似乱数生成器（CSPRNG）」だけが、暗号で使用されるのです。

身近な使われ方

• ワンタイムパスワード
• SSL通信のセッションキー
• 暗号資産の秘密鍵生成

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鍵なしの暗号？「ハッシュ関数」の魅力

ハッシュ関数とは？

「どんな長さの情報でも、決まった長さの数値に変換する」関数です。
例：「パスワード123」→「e99a18c428cb38d5f260853678922e03」

🔹 一方向性：変換後の値から元のデータはわからない
🔹 衝突困難性：異なるデータが同じハッシュ値になるのはほぼ不可能

使われている場面

• パスワードの保存
• デジタル署名
• データ改ざんの検出
• ブロックチェーン（仮想通貨）

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3つの数理が暗号に与える影響

素因数分解 × 乱数 × ハッシュ関数

これら3つの技術が連携して初めて、安全な暗号通信が実現されています。

数学技術	担当する役割
素因数分解	鍵の安全性の保証（RSA暗号）
乱数	毎回違う暗号化を可能に（セキュリティ向上）
ハッシュ関数	データの整合性、改ざん検知（署名や認証）

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暗号の未来と数学の進化

技術が進化すると、これまで難しいとされていた計算も簡単になる可能性があります。特に「量子コンピュータ」の登場により、現在のRSA暗号は将来的に破られるリスクがあります。

🔮 未来を支える新しい数学

• ポスト量子暗号（量子耐性のある暗号）
• ラティス暗号（格子ベース暗号）
• 同型暗号（暗号化されたまま計算ができる技術）

これらの暗号も、数学的困難さに基づいて構築されており、数学は今後も暗号の中心にあり続けるでしょう。

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まとめ：数学こそが、最強のセキュリティ

📌 素因数分解 → 現在の暗号を守る要
📌 乱数 → 毎回異なる通信を実現し、予測不能性を確保
📌 ハッシュ関数 → 改ざんのないデータの保証と、パスワード管理の基盤